Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Это условие выражает следующее свойство / ; в каком бы месте множе­ ства D ни находились точки х п у, если они достаточно близки друг к другу, то и значения / в этих точках будут близки друг к другу настолько, насколько нам это нужно. Легко видеть, что если / равномерно непрерывна на D, то она непрерыв­ на в любой его точке. Действительно, если в условии (5.2) зафиксировать лю­ бую точку yeD, то (5.2) станет условием непрерывности / в точке у, то есть из равномерной непрерывности / всегда следует ее непрерывность. Обратное утверждение, однако, неверно. Рассмотрим функцию / ( x ) = s i n- , хеф-, 1]. Эта функция непрерывна л: 1 2 на (0; 1]. Как и выше, возьмем точки х„-~, у„= —. Тогда ял (4/г + 1)п для всех п, хотя j . t n - y , , ! —^ 0 (Это очевидно) и, следова­ тельно, при соответствующем выборе значения н расстояние между х„ и у„ может быть сделано сколь угодно малым; иными словами, если взять, напри- 1 мер, S = - ,то получим; 3 s > 0 V 5 > 0 Зл-„, у„е(0; 1 ] : ( | х „ -%, l <5 )=> j / ( j : „ ) - / ( y „ ) j > i , т. е. получено отрицание условия (5.2). Существуют, однако, ситуации (и мы с ними столкнемся ниже), когда нам . нужно гарантировать, что непрерывная на D функция будет на D и равномерно непрерывной. Такую гарантию нам дает следугощая теорема. Теорема S.8 (теорема Кантора о равномерной непрерывности.) Непре­ рывная. на отрезке [а; Ь] функция f равномерно непрерывна на этим отрезке. Доказательство. Предположим противное; 3 s > 0 V 5 > 0 3x5, У5б[а; Ь]:(|х5-у5|<5=>1/(х5)-/(п)1>б). Воспользуемся произвольностью выбора 5 и положим 5„ = - , п ё 7^. Тогда п З Е >0 V/!e /V3.ic „, у„е[а\ Ь];|^|х„-у„1<1=>|/(х„)-/(у „)|>Е^. (5.3) Пользуясь вновь леммой 5.5, выделим х,,^ — ^ ] ' Выделим те­ перь подпоследовательность у,,^ (с теми же номерами) и покажем, что 82