Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Докажем достижение верхней грани. По первой теореме Вейерштрасса/Офаничена сверху, а значит, существует S = sup f{x). Но тогда jre[t7; h] \fneN Зх„ф-, b]:f{x „)>S-- и при этом f[x „)<S. Вновь используя лемму 5.5, выделим Ь]. Тогда S - — < / ( х , , ) < S . Переходя в этих неравенствах к пределу по А: и учитывая, Пк ^ что в силу непрерывности / имеет место lim /(л:,,, ] = /(j^o)i получим 5 < / ( х о ) < 5 , т . е . /(д:о) =5 ' . Таким образом, в точке х^ достигнута верхняя грань. Теорема доказана. Самостоятельно докажите, что достигается и нижняя грань / Вторая теорема Вейерштрасса имеет огромное значение как для теории, так и для практических приложений анализа; она доказывает, что непрерывная на отрезке функция имеет на нем наибольшее и наименьшее значения. Легко построить примеры, когда невыполнение одного из условий теоремы (того, что [а; Ь] - отрезок или то, что /непрерывна на нем) приведет к тому, что наиболь­ шего или наименьшего значений у / не существует; f{x) = x на (0; 1) имеет точные грани: inf /(л:) = О; sup/ ( х ) = 1, но таких значений у / нет; а если [ о , х =0 ; - , хб ( 0 ; 1], то на [0; 1] / не имеет наибольшего значения в силу разрывности в точке д: = О. Следствие к теореме 5.7. Непрерывная на отрезке функция принимает любое значение, заключенное между наибольшим и наименьшим. Иными слова­ ми, если/ непрерывна на [а; Ь], то множеством ее значений является отрезок [т\ М],где т^ inf f{x),M= sup f{x). xsla-,b] Доказательство следует из следствия к теореме 5.4, поскольку по второй теореме Вейерштрасса найдутся х^, X2s{a\ b] такие, что /(j:) =i n f / , /(х2) = зир/. Определение 5.2. Функция / называется равномерно непрерывной на множестве D R, если V e > 0 35>0VA:, у е D:{\x-y\<b=^\f{x)-fiy)\<E). (5.2) 81