Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Лемма 5.5. Пусть х„ — последовательность со значениями, лежащилш в [я; 6], тогда га нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит [а; й], Доказательство. Поскольку х„ ограничена, существуют и XQ такие, что (теорема Больцано - Вейерштрасса). Пусть Xog[a; b], напри­ мер, XQ>b. Возьмем 8 = XQ~b. Тогда ^/5(^0)П["'> Ь] =0 , но с другой сторо­ ны, Зп^ >п,,:х„^ 6t/g(xo). Поскольку х„^ е[а; Ь], это противоречит тому, что ^5(^0) П Ь] =0 , т.е. предположение Хо>Ь неверно. Аналогично убе­ ждаемся., что Хо< а также невозможно, достаточно взять Ь = а-Хд. Лемма до­ казана. Теорема 5.6 (первая теорема Вейерштрасса). Если /непрерывна на от­ резке [а; Ь], то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Предположим противное; пусть / неограничена, напри­ мер, сверху. Тогда, очевидно, 3.x „s[a; b]:f[x„)>n. Выделим в силу леммы 5.5 — j - ^Xo e [ a \ Ь]. Тогда, очевидно, щ. Поскольку щ —+0О, а/непрерывна на [а; Ь], то переход к пределу в последнем нера­ венстве даст /(xo)s+co, чего быть не может, поскольку /{ XQ ) - действитель­ ное число: /(xo)<+oo. Полученное противоречие доказывает ограниченность / сверху. Ограниченность снизу доказывается аналогично; предположение против­ ного Приводит к тому, что п s N 3 х„ е[а; b]\f{x „)<-n. Далы:ейшее рассуждение проведите самостоятельно. Напо,.гаим, что число 5 называете.^, точной BepxHeii гранью/на множестве Д если 1.V . * e D : f(.x)<S; 2. V E > 0 3 Е £ ) ; / ( J C E ) > 5 - е . Обозначение: 5 = sup/ . xeD Аналогично вводится понятие точной нижней грани / на D: inf/ . xeD Теорема 5.7 (втораи теорема Вейерштрасса). Если / непрерывна на [а; Ь], то она достигает своей нижней и верхней грани; иными словами, найдутся X|, е[а; й] такие, что /•Ы= mi fix), /(^2)= sup fix). «["• *1 61 80