Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если ({С)ФО, ТО отрезок [а,, 6,] вновь поделим пополам и проведем те же самые рассуждения, т. е. либо на этом шаге мы найдем точку либо по­ строим отрезок [йгт, Ьт], на котором /меняет знак. Повторяя эту процедуру, мы либо на конечном шаге найдем точку ^ такую, что /(4) = О, либо будет по­ строена система вложенных отрезков [oi, Ь^] таких, что: 2 ° . / ( « , ) < 0 ; Г . / { Ь , ) > 0 . По принципу Кантора существует единственная точка принадлежащая всем отрезкам Ь^], при этом t ^ , bj,i i , . Но тогда из непрерывности/ следует, что / { а ^ ) — > / ( ^ ) , а из теоремы о предельном переходе в неравен- ствах/(^):^0. По тем же причинам / ( b / i ) —> / ( У и /(^)2:0. Таким образом /(^) = О и ^ - искомая точка. Замечание. Приведенное доказательство теоремы Коши интересно тем, что оно является конструктивным, т.е. дает алгоритм, по которому с любой на­ перед заданной точностью можно найти значение Этот алгоритм с успехом применяется на практике при решении уравнений f{x) = Q с непрерывной f: если нам известен отрезок, на котором / меняет знак, то, задавая точность g > О, с которой мы Хотим вычислить строим по указанному алгоритму по- , ^ bt. Л- cii следовательности и полагаем q « ^ , как только выполнится нера­ венство bi,-ai, <z. Следствие к теореме 5.4. Пусть/непрерывна т [я; Ь]; л:,, ^2 е[я; Ь] и число с заключено меэюду значениями f{^x^) и /(xj). Тогда найдется i,e[a', b] такая, что f{Q = c, Доказательство. Пусть для определенности и / [ x i ) </ ( x 2 ) (если /(-i^i) =/(j^2) , то в качестве ^ можно взять любую из точек л, или лз). Пусть c e ( / ( x i ) ; /(^2))- Тогда функция F(x)-f{x)-c меняет знак на отрез­ ке [x|, ^2] и непрерывна на нем, следовательно, найдется точка ^2] та­ кая, что = О, т.е. f{^) = c, что и требовалось. Словесно это свойство / можно сформулировать так: непрерывная на [а; Ь] функция принимает любое значение, заключенное между двумя любыми ее значениями. В дальнейшем нам понадобится одно свойство числовых последователь­ ностей, которое сформулируем в виде леммы. 7 4