Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство проведем по Гейне. Пусть х„ —Тогда s{x «)—r">'S{^o)=yo- Но тогда в силу непрерывности/имеем /(g(-v „))—; р»/(уо), т.е.f ( x „ ) — j j — , что и требовалось. Теорема 5.3. (о сохранении знака непрерывной в точке функции). Ес­ ли f непрерывна в точке X Q м /( j(|)>0 (/( л:())<0), то найдется окрестность U^[XQ) такая, что .XBUH^XQ):^ f(x)>Q (/(j;)<0). Доказательство очевидным образом следует из теоремы о сохранении знака функцией, имеющей предел в точке XQ , поскольку в данном случае lim f(x) = f{xa)>Qi<Q). Следствие. Если f непрерывна в точке XQ и /[хо)>с (/(xo)<c), то найдется окрестность U^i^xo) такая, что xeUb{xa) => / ( x ) > c(/(x) <с). Доказательство. Пусть /(л:о)>с, рассмотрим F(x) = f{x)-c. Это не­ прерывная функция, поскольку =( f i x ) -с)- {/(XQ)- С) = fix) - /(ло) = Af (x^) • >Q- (Можно догадаться, что F(x) непрерывна в точке XQ еще и потому, что Ф(Л:) S с непрерывна в любой точке, а тогда F непрерывна как разность непре- рывнЬ!Х функций). Но F{хо) = f {ха) - о Q, значит F{x) сохраняет знак в некоторой окрестности XQ И, следовательно, в этой окрестности f(x)> с. Теперь рассмотрим несколько важнейших теорем, которые объединим общим названием. Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 5.4 (теорема Коши). О смене знака непрерывной функцией. Пусть /непрерывна на отрезке [а, Ь] и при этом f(ci)- f{b) <0, тогда найдется точка ^е(а; Ь) такая, что /(^) = 0, Доказательство. Пусть для определенности f{a) < О, / (6) > О . Поде;!ИМ отрезок [а, 6] пополам точкой с. Возможны три случая; 1)/(с) = 0; 2)/(с)<0; 3)/(с)>0. В первом случае с - искомая точка; во втором случае обозначим отрезок [с; Ь] через [а,, 6,]; в третьем случае обозначим через [а|, 6|] отрезок [а; с]. 78