Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Например, /(л:) = -1———^ имеет оба односторонних предела и они конеч- .X' Isinxl sinx , Isinxl ,, sin.x , „ ны: km J ' = lim = 1, lim^ ^ = -lim = -1, то есть Xo = 0 - точка CIO X X X "T-VO X конечного скачка f . 3°. Пусть существуют оба односторонних предела / в точке^:Q, НО ХОТЯ бы один из них бесконечен, тогда точку называют точкой бесконечного скачка f или точкой скачка второго рода. Например, /(л:) =2 " ' ' , л:о=0. Тогда l im2 " ' ' = 0, Ит 2 " ' ' =о о , т.е. xfO -Го = о - точка бесконечного скачка f . 4°. Пусть, наконец, хотя бы один из односторонних пределов/в точке Хо не существует ни в конечном, ни в бесконечном смысле. Тогда XQ называют точкой разрыва второго рода функции f Например, / ( x ) = sin —, JCO = 0 . Покажем, что l i p f{x) не существует. X Для этого воспользуемся определением Гейне. Возьмем две последовательно- 1 2 сти; х„ =-;г— , У„= • Очевидно = =0 , однако 2т1п {4п + 1)71 1 1 / ( x „ ) = sin 2im = Q, т.е. / ( ^ ) =s i n ( 4 « + l ) | s l , т.е. 7 ^ 1 , таким образом, правостороннего предела / (впрочем, как легко догадаться, и ле­ востороннего предела) не существует и л:о = О - точка разрыва / второго рода. Мы рассмотрели все возможные случаи, когда / терпит разрыв в точке Хо и, следовательно, полностью классифицировали точки разрыва. Если / непрерывна в каждой точке какого-либо множества D a R , то ее называют непрерывной на D. Из правил действия с пределами функций следует следующее утверждение; если / и g - непрерывные в точке хо функции, то f ±g, f • g л f / g (в последнем случае предполагается, что g{xo)^Q) - также непрерывные в точке Хд функции. Теорема 5.2 (о непрерывности сложной функции). Если в окрестности точки XQ определена функция F(x) = f{g{x)), при этом g непрерывна в точ- KBXQ, а f непрерывна в точке= g[x^), !По F непрерывна в точке Хд. 77