Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

V s > 0 3 5 > 0 VX ;(| X - XO 1<5=>1/( X )-/(.X O )|< E ). Если же обозначить x-x^ =Ax, fix)- /(ло) =A/ ( xo ) , то это можно за­ писать и так; Ve >0 35>0:(|Ax|<5=>lA/(л:о)1<е), т.е. Um Л/(хо) =0 . Л х-^0 Разумеется, можно использовать и язык Гейне:/ непрерывна в точке XQ, если для любой последовательности х„ выполняется ( x „ - ^ Х о ) = > { / ( х „ )—^ / ( ; с о ) ) . Как следует из теоремы об эквивалентности определений предела по Ко- ши и Гейне, эти определения непрерывности эквивалентны, и мы будем и х ис­ пользовать в зависимости от удобства применения. Определение разрыва функции в точке XQ , данное выше, позволяет ввести классификацию точек разрыва. 1°. Пусть существует конечный lim /(л:), но либо /(ло) не определено, ДГ-^ХО либо lim / ( х ) * /(хо) • В этом случае точка Ха называется точкой устраншю- го разрыва /. sin X Например, / ( х )= , Хо=0. В этом случае XQ - точка устранимого разрыва. Если же доопределить функцию в точке так: Г sin л: ^ / W = ' [с 5^ 1, X = О, то по-прежнему точка = Обудет точкой устранимого разрыва. И только если sinx / W = л 1, X = О, то функция становится непрерывной в точке XQ = О. 2°. Пусть существуют и конечны оба односторонних предела/в точке XQ , но при этом lim /(x)?tUm fix). Тогда XQ называется точкой конечного ска- .tt.xo xixo чка / или точкой разрыва первого рода. 7 6