Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение 5.1. Пусть функция /определена хотя бы в окрестности ТОЧКИ XQ. Функция f называется непрерывной в точке XQ, если 1. 3 lim /(х); 2. lim f(x) = f{xo). X-^XQ Если / определена хотя бы в левой (правой) полуокрестности точки Хо, т.е. в (л:,)-5; Хо](в[хо; X Q +5)), 5 > О, и при этом 1. 3 Im fix)-. / хГ. •to 2. l i m / ( x ) = / ( x o ) ; XT.XQ 1. 31im/(,v); •r-i-.TO 2. l i m / ( x ) = / ( x o ) . V TO/ называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке X Q . Из этих определений и теоремы 4.1 о связи односторонних пределов и предела функции в точке следует Теорема 5.1. Пусть f определена хотя бы в окрестности U^(^XQ), тогда f непрерывна в точке XQ в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа одновременно. Функцию / будем называть разрывной в точке XQ , если не выполняется хотя бы одно из условий (5.1). Примем следующее соглашение: если / определена лишь в проколотой окрестности точки Л 'о (в проколотой полуокрестности точки X q), ТО ее по оп­ ределению будем считать разрывной в этой точке. sin X Например, f(x)- определена всюду, кроме точки XQ = Q . И хотя X sin X 3 lim = 1, эту функцию будем считать разрывной в точке X Q = О. Также раз- •Т->0 X рывной в точке Xq = О будем считать функцию /(х) = — и т.д. X Словесное определение непрерывности в точке выглядит так: / непре­ рывна в точке А'о, если у нее в этой точке существует предел, равный значению /(.Vo). Это предложение можно сформулировать «на языке Коши»; / непре­ рывна в точке Хо, если V f / , ( / ( xo ) ) Зи,{хо) yxsU,{x „)-.fix)eU,{f{xo)), ИЛИ, что то же самое; 75