Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

следовательно, а(х) - бесконечно малая порядка — относительно х. Ответы 1. б) -2; в) 2; л)+ю; е) 1/4; ж) -1/2; з) /г; к) 0; л) Зх^; м) 6; н) 0. 2. б) 0; в) 1/2; г) -7/4; д) 2; е) 3/2; ж) 3^2/2; и) 3/5; к) 3; л) 1/6. 3. в)1/7г; г) 3/4; д) 0; е) -л/2/4; ж) 1; з) 25/16. 4. 6)е'°; в)е'®; г); д)е'; е) 2; ж)1/(я1пя); з) а-Ь; и) 1; к) 1/е. 6. 6) 2/3; в) 1 : г ) 1/3; д) 1/2; е) 1/2.' Наиболее интересными для практики являются функции, «график кото­ рых можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». Действительно, если будем рассматривать некоторый опыт, в котором наблюдается изменение тем­ пературы со временем (температура есть функция времени), то температура не может изменяться скачкообразно; в любом случае она изменяется на некотором интервале времени, пусть и очень коротком. То же можно говорить о любой физически реализуемой функции, аргументом которой является время или лю­ бой другой аргумент, область изменения которого можно интерпретировать как числовой отрезок или интервал, то есть «разрывных» функций, зависящих от «непрерывно» меняющегося времени, в природе нет. Однако для изучения явлений, в которых некоторые изменения могут происходить настолько быстро, что их длительностью можно пренебречь без ущерба для практики, вводят функции скачкообразные, ступенчатые, импульс­ ные и т. п., «графики которых нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бу­ маги». Например, такопой является функция /(.v)= . В точке x^ = Q она не определена, но слева от XQ имеем / ( х ) s -1, а справа - / ( х ) = 1. Еще более раз­ рывной является функция Дирихле: рассмотренная выше. Разумеется, эти функции - идеализация реальности, но эта идеализация очень удобна и нужна для изучения той же реальности. В этом разделе дадим строгие определения функциям непрерывным и разрывным и подробно их изучим. 5. Непрерывные функции 0, X - рационально; 1, X - иррационально, 74