Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

е) lim л:(1п(2 +л ) - 1 п х ) ; jr эа ^ ' ж ) l im .Г о х-а з) lim и) lim (cosх) .Г -> О к) lim X -> о Sin X U-sinx 5*. Доказать, что если для функции д: = ф(() существует предел lim ф(0 =а , причем I /О 3 £ |) >OVi(0<|/-a|<Eo =>ц>(1)Фа), а функция у = fix) имеет предел lim f(x) = b и определена в точках ф(г) для всех t, достаточно близких к а, то lim /[9(/)] = i'. (Что получится, если убрать I -* IQ условие « З бо > OV /(o< | / - а | < £ о => ф(г) Ф а)»?) 6. Определить порядок малости а(х) относительно p(x) = л: при х—>0: а) а ( х ) = ; 1 — X б) ; в) a ( x ) =s i n ^ V x T 2 - V 2 j ; г) а(х) = ^1 + ifx - 1 ; д) а(,х) =3 ^ - 1 ; е) a ( x ) =2 ' -созл:. а{х) 3^/? ^ Р е ш е н и е, а) Рассмотрим предел Ьш^——= — • После про- х->о х'' •>;-> о (1 - x)x'' ведения вычислении получаем з_ . г2 а(х) Зл/л:^ , ,• 1 1- 2 hm — ^ = hm = 3 lim = 3 lim x-к о x'^ " (1— л:)д:'^ x -+o l - x л ->о V - =- . • О, ГФ-, 2 73