Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пример 1. Пусть дано высказывание: V.ve Л 3>'е Л ; л: < J'. (1.1) Его отрицание; l (Vx e f t 3yeR:x<y). Мы видим, что в такой форме, - «не для любого из R найдется у из R такой, что X меньше V», смысл полученного высказывания очень трудно по­ нять. Попробуем облегчить его понимание. Для этого за,метим, что если «не для любого X имеет место Р{х)», то это равносильно тому, что «существуетд:, для которого Р(х) не выполняется». В нашем примере это выглядит так; 3.Vе х <у). Теперь следующим шагом надо понять значение полученного отрицания l(3_v е Я:.« < у), Но это уже легче; Vv е R < _v) • И окончательно 3xeRVyeR:x>y. Мы получили отрицание высказывания (1.1). Пример 2. Вспомним определение периодической функции и запишем его с помощью символики: 3r>0VxeR:f(x + r)=:f(x). Как записать теперь тот факт, что/ - непериодична? Рассуждая, как и выше, сначала получим такое высказывание: V r >O l ( V x e « ; / ( х + Г) = /(.л;)). После чего: V r >О Э.Т 6- R {](f(x + Г) = /(л-)). Наконец: '^T>Q3x £R:fix + T)it f{x). Из этих примеров видим, что знак отрицания «проходя сквозь высказы­ вания» заменяет квантор существования на квантор всеобщности, и наоборот. Этим правилом мы будем часто пользоваться в дальнейшем. Знаки л и V будут нам заменять союзы «и» и «или». При этом v не яв­ ляется исключающим типа «или...или.,.», т.е., если мы запишем (xeA)v(xeB), то это означает, что х по крайней мере, находится в одном из указанных мно­ жеств, но может находиться и в обоих сразу. 8