Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Важность для математики выражений «для любого...» и «существует...» трудно переоценить. Если хотим объяснить, что А состоит кз четных чисел, то мы скажем; для любого, а е А найдется целое число b такое, что а = lb . Если же захотим сказать, что А не состоит полностью из четных чисел, то скажем: существует а е А такое, что для. любого целого числа b равенство а = 2Ь невозможно. В связи со сказанным введем следующие символы; вместо слов «любой», «для любого», «каждый» и т.п. будем употреблять символ V , называемый «квантор всеобщности», а вместо слов «существует», «найдется» и т. п. - сим­ вол Э, называемый «квантор существования». (V - перевернутая первая буква слова «АН», Э - перевернутая первая буква слова «Existence») Например, предложение «для любого числа х найдется число у , боль­ шее, чем X » можно теперь записать так; (Vx 6 R) (Э3/ S Л): X <у . Здесь появился еще один символ - двоеточие. Этот символ (и равносиль­ ный ему символ ( - прямая вертикальная черта) здесь и всюду далее будем чи­ тать так; «такой, что имеет место», «имеет место». В указанной записи можно скобки отбрасывать и писать так: \/xeR Зу е R : X < у. Очень важно понять, что в этой записи выбор у зависит от того, какой был заданл. В предложении: «для любой головы найдется шляпа, которая на эту голову наденется», - выбор этой шляпы зависит от величины головы. Вы­ сказывание ЗуеК УхеК : х<у имеет совсем другой смысл! Будем также использовать знак => и читать его; «следует». Знак <=> (или равносильный ему =) будет означать тождественность высказываний, стоящих по обе стороны от данного знака и читаться «тогда и только тогда», «если и только если» и т. п. Например, если мы хотим сказать, что А не является подмножеством В (запись; Act В),-го можно записать следу101цее тождество: А а. В = 3х е А \х^В. Знак 1 будет означать отрицаиие аысказь|аания. Для нас он также будет иметь большое значение, поскольку часто для доказательства теорем от про­ тивного нужно суметь построить отрицание так, чтобы оно читалось как пози­ тивное высказывание. Поясним это на примерах. 7