Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Формулы (4.9) и (4.10) доказаны. Эти формулы и принято называть вто­ рым замечательным пределом. Впоследствии мы увидим, насколько важны для теории и приложений математического анализа эти два предела. Поэтому прилагательное «замеча­ тельный» было дано этим пределам не случайно. Вопросы для самопроверки 1°. Напомним, что f{x), определенная на D{f), называется ограничен­ ной сверху, если 3ce/?VxeZ)(/): f{x)<c. Записать условия;« / неограничена сверху»,« / неограничена снизу». 2°. Пусть lim f(x) = -t-oo . Будет ли/неограниченной сверху в окрестности точки Xq? 3°. Пусть в любой проколотой окрестности точки XQ функция / неогра­ ничена сверху. Можно ли утверждать, что lim / ( х ) = +со ? х-^хо 4°. Какие свойства функции /определяют следующие утверждения: а) 3 С/,(с) 3 Оь {xo)yxeU,{xo)r]D{f):fix)e U, {с); б) 3(7,(с) \/йъ{ха) Ух е йъ (хо) П D(f): f{x) е U^{c); в) Vt/,(c)VC7(xo) Vx eU , { x , ) r \D{ f ) : f { x ) eUd c ) . 5°. Пусть (р(х)— — > + со. Можно ли утверждать, что J ЛФС-") lim 1 + ФWJ =е ? 6°. Пусть а(х) 4 О. Можно ли утверждать, что ,г->д:о Ит(1н-а(х))""<-'' = е? Ответы 2. Да. 3. Нет. 4. а) существует проколотая окрестность точки х^, в кото­ рой /ограничена; б)/ограничена на множестве Z5(/)/{xo}; в) f{x) = c всюду на множестве D ( / ) / ( x o ) . 5. Да. 6. Да. 68