Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Например: £ (1, 51) = 1, Е{7)=1, Е{-2, 3) = -3. Иными словами, целая часть числа х - это ближайшее к х слева целое число. Доказательство формулы (4.9) проведем с помощью определения Гейне. Возьмем произвольную последовательность х„ t +оэ. Ясно, что начиная с неко­ торого номера, х„ >0 , поэтому к„ = Е(^х,^) можно считать натуральными чис­ лами. Очевидно, из определения целой части откуда откуда, в свою очередь. к„ < х„ <к„+], 1 - < ± , . 1 (4.11) к„ +1 х„ к„' 7 - ^ + 1<— + 1<— + 1. «„ +1 х„ к„ Но тогда с учетом (4.11) 1 +1 J I J I к„ (4.12) Простейшими преобразованиями эти неравенства можно записать в виде: \к,1+> / . \-1 / , \х„ 1 ^_к„+\ • + 1 ( П ' Теперь, поскольку lim \-1 — +11 = lim А„->+« + 1 J ^ + 1 1 = 1, \^ll lim + 1 I'fl-hl : lim i/i— - ^ + 11 =e k „ {k„ - подпоследовательность натуральных чисел, a, как известно, любая под­ последовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пре­ делу, что и сама последовательность), то с учетом (4.12) получаем, что lim 1 + - 1 = е . X, Теперь рассмотрим случай х4--со. Для этого обозначим t = -x-. Тогда 11+С0. В этом случае: 67