Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

|l-cos.v| = 2sin-i<2|^ij —>0. Переходя к пределу в (4.8) при х 0 , мы и получаем Ит = 1, что, ра- sinx зумеется, равносильно утверждению ~ sinx или, что то же самое. smx , Itm = I. jriO X Если теперь х < О и вновь рассматривается предельный переход smx iim , то, очевидно, jto X sin X _ sin(-x) _ sin/ - »1. - A - t Равенство (4.6) полностью доказано. Второй замечательный предел. Выше мы ввели в рассмотрение число е как предел специальной последо- dcf ( IY' вательности: е = lim 1 + - . « J Возникает вопрос, будет ли существовать предел при .v —> +<» у функции более общего вида /(x) = |^l + - j , и если он существует, то чему он равен? Надо ожидать, что если этот предел существует, то он равен числу е, что следует из определения самого числа е и определения предела функции по Гейне. Ниже мы докажем, что и, более того, lim 11 + - 1 =е (4.9) lim 11 \=е, (4.10) но сначала напомним определение целой части числа; целое число Е{х) назы­ вается г/елог7 часотью числа д:, если; \)Е{х)<х-, 2) Е{х) + 1>х. 66