Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

• если lim а(.х) Р ( А - ) = О, то будем говорить, что а имеет болытш порядок ма­ лости, нежели (3, и будем обозначать это так: а = о(Р); - если а = о(р) и найдется число /с такое, что функции а и (3^ будут од­ ного порядка малости, то будем говорить, что а имеет к-й порядок малости относительно функции р . В заключение этого раздела докажем две теоремы о пределах, называе­ мых замечательными пределами. Первый замечательный предел. или, что то же самое sinx , Iim 1 *-+0 X sin д: ~ X. дг-^О Доказательство. Покажем, что sinA: siiiA: , lim = lim = 1. j:tO X -t-lO X Для того чтобы доказать равенство зтл: , lim = 1, воспользуемся единичным три- Jt-l-O X гоиометрическим кругом (рис. 12). Из рис.12 ясно, что площадь треуголь­ ника ОБА меньше площади кругового секто­ ра ОБА, которая:, в свою очередь, меньше площади треугольника ОСА , т.е. -ОБОА-5тх<-ОБОА-х<-ОА-СА. 2 2 2 Учитывая, что ОБ =ОА = \, СА = tgx, имеем 5тд:<д:<1§д:, или, учитывая, что 5 т д : >0 при д:е(0; л), , д: 1 1< < . (4.6) 1 / С у\х>а \ \ ° А 1 Рис. 12 (4.7) (4.8) sinx cosx Нам остается показать, что cosx —>1. Для этого, используя элемен­ тарную тригонометрическую формулу и левое неравенство из (4.7), запишем: 65