Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

т.е. 5 = lim / ( л ) , что и требовалось. х-^Ь Аналогично доказывается существование lim/(д:) = inf / ( х ) . дг-ю й) Определение 4.4. Функция а называется бесконечно мачой вблизи точки XQ , если lim а{х) = О . л-»хо Теорема 4.12. Число с будет являться пределом функции f в точке XQ то­ гда и только тогда, когда найдется бесконечно малая вблизи XQ функция а та­ кая, что для всех хвОц^Хо) выполнится равенство /(х) = с + а(х). Доказательство. Пусть с - lim f{x). Тогда положим а{х) = fix) — с. Очевидно, lim а.{х)~ lim ( / ( х ) - с ) = 0 , т . е. искомая а(х) построена. Обратно, если существуют такие с и а{х), что f{x) = c + а{х), то у пра­ вой части этого равенства существует предел lim (с + а.{х)) = с, а значит, суще- ствует предел lim f(x) — c. Теорема доказана. Упражнение. С помощью теоремы 4.12 доказать теорему 4.6. По существу теорема 4.12 показывает, что определение предела функции в точке мы могли бы дать, если бы сначала ввели понятие бесконечно малой функции. Действительно, это можно было сделать так: число с называется пре­ делом функции/ в точке ло, если функция / ( х ) ~с является бесконечно малой вблизи точки X Q. Это замечание показывает, насколько важным является понятие беско­ нечно малой функции. Нам в дальнейшем неоднократно придется выяснять вопрос, какая из двух данных нам бесконечно малых вблизи XQ функций а и (3 стремится к нулю быстрее? Для этого надо договориться о том, как будем понимать слово «быстрее». Введем следующие понятия; - если существует lim = рФ О, то будем говорить, что а и (3 имеют '->^0 р(х) одинаковый порядок малости; - если при этом р = 1, то а и (3 назовем эквивалентными вблизи XQ И бу­ дем это обозначать так: а(х) - Р(,г); .V- ».Vo 64