Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

/(л-)е(7,,(а), f{y)eU^{b), т.е. f{.x) > g{x), что и требовалось. Следствие. £ сл1( Нт / ( х ) > с = const,т о X-FXO 3 у 6 ,(•^о) S ( 7 б | ( х о ) ; / ( а - ) >с . Доказательство очевидно, если взять g(x) = с и воспользоваться теоре­ мой 4.7, Теорема 4.9. Если существуют а= Нт /(х) и Ь= lim g(x) и при этом х-^хо Х-4Х0 3^51 такая, что хей^ (хд):/(х)> g(x), то а>Ь. Доказательство. Пусть справедливо обратное: а<Ь , тогда по предыду­ щей теореме в некоторой окрестности точки выполнится неравенство f(x) < gix), что противоречит предположению теоремы. Теорема 4.10. Если xeUi{xi;i): f {x)<i^{x)< g{x) и при этом lim f(x) = limg ( x ) - a , mo 3 lim ф(д:) = a . .r-^.vo Доказательство. ВозьмемV a : „ — Т о г д а /(д:„)<cp(jc „)<g(A:„). Пе­ реходя к пределу и используя теорему о сжимающих последовательностях, по­ лучим lim ф(х„) = а , и, поскольку х„ выбрана произвольно, теорема доказана в П силу определения Гейне. Замечание. Последние три теоремы называют теоремами о предельных переходах в неравенствах. Для функций, монотонных на конечном или бесконечном интервале (а; 6), справедливы теоремы о существовании пределов. Докажем одну из них: Теорема 4.11. Если f монотонна на интервале (а; Ь) и ограничена )ia нем, то существуют конечные пределы lim/ ( х ) и lim/ ( х ) . xla Доказательство. Пусть для определенности / монотонно возрастает и ограничена. Пусть S = sup /(.г), тогда ле(а; Ь) 1) V x £ (а; Ь): f{x)<S \ 2) V s > О 3 х,, s (а; Ь): f[x^,)> S - е. Но / возрастает, следовательно, V x £ ( x , ; 6 ) : / { Х ) > / ( Х , ) > 5 - 8 , таким образом, V s > 0 38 = X, Vx e ( 5 ; h):\fix)-S\<z, 6 3