Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если, какова бы ни была последовательность х„, сходящаяся к +со, по­ следовательность f {х„) имеет предел, то f {х) imeem предел при д: —> + оо. Упражнение 2. Доказать теорему. Для того чтобы существовал lim f(x), необходимо и достаточно, что- Л— бы выполнялось условие: Ve>0 36Vx|, Х2>5;|/(х,)-/(хг)|<Е. Рассмотрим теперь некоторые свойства пределов функций. Для простоты будем полагать, что/определена в iy(,(x(,)-Us(xo}/{xoj - проколотой окрест­ ности Х(,. Все нижеследующие свойства будут, очевидно, справедливы и для односторонних пределов и для пределов в бесконечно удаленных точках. Теорема 4.5. Функция, имеющая конечный предел в точке XQ, ограничена в некоторой окрестности этой точки. Доказательство очевидно следует из определения предела функции по Коши; Vs>0 ЭС7б, (х,,) VxsC/8|(xo):c-e< /(Х)<С + Е, т.е. /ограничена в Иц ( XQ ) . Теорема 4.6. Если существуют пределы а - lim f{x) и b = lim g{x), то X-^XQ сугцвст^уют пределы lim (/(x) ±g(x)) =a ± 6 ; lim / ( x ) g ( x ) = a • 6; lim = — _ g последнем случае предполагается, что b*Q. "О g(x) b Диказательство следует из определения I ейне и соответствующих свойств пределов числовых последовательностей. Теорема 4.7. Если fix^^c в Uf,(xo)z, то lim f{x) = c. .Х-*ХО Доказательство следует из определения, например, Коши. Теорема 4.8. Если существуют а= lim/(.v) и b = lim g(.x:) и при этом .v->vo a>b,mo найдется ( XQ ) С T/G(XO) такая, что VxeL/g, (xo):/(x)>g(x). Доказательство. По лемме об отделимости найдутся окрестности Uc(a) и Uf{b) такие, что U^(^a)>U^{b), но тогда найдется такая, что Vx е Уй| (.1:0) выполняются одновременно условия: 62