Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Лемма 4.3. Пусть для любой последовательности х„, сходящейся к XQ , последовательность /(х„) гшеет предел. Тогда f(x) имеет предел в точке Хд. Доказательство проведем по Гейне. Пусть х „ — У , , — - Две произвольные последовательности со значениями в £ >(/). Построим третью последовательность: и=хь Ь = 3'|. h = xi, h,,=y,n- Очевидно t „ —7->-хо, но тогда по условию леммы существует число с = lim/(?„), а поскольку f{x „) и f{y „) - две подпоследовательности сходя- Л щейся последовательности /(;„), то f{x „) — -^с и f{y „) — -^с^т.е. мы по­ казали, что число с удовлетворяет определению предела по Гейне. Теорема 4.4 (критерий Коши). Для того чтобы существовал предел / в точке Xfl, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: V 8 > 0 3{78(xo) Vx,, x2 eD{ f ) f ]Ui { xo ) : \ f { x i ) - f { x2 ) \<e . (4.5) Доказательство. Необходимость очевидна; пусть с= lim f{x). Возьмем jr-MQ Vs >О и построим по определению Коши соответствующую 0^ ( XQ ) . Тогда для любых Xi, Х2 eU^[xo) [] D{f) имеем; 1/(^i)-/(-*2)1^|/(^I)-C| + 1C-/(X2)|<E + E = 2E. Поскольку 2е - вновь произвольное положительное число, мы доказали, что выполняется условие (4.5). Достаточность. Здесь удобнее воспользоваться определением Гейне. Пусть х „ — - пс-.ледовательность со значениями в D(f), а условие (4.5) выполняется. Тогда в силу сходимости х„ \/5>0 3п8 Vn, ш>Пб;|/(х„)-/(х„,)|<Е, т.е. / ( х„ ) фундаментальна, а значит, имеет предел. Учитывая произвольность выбора х„ и предыдущую лемму, получаем доказательство достаточности и всей теоремы. Замечание. Если считать, что / определена на (а; +со), то условие (4.5) можно записать в виде: V s > 0 3 5 V x | , Х 2 > 5 : | / ( Х | ) - / ( Х 2 ) | < Е . Упражнение 1. Доказать лемму: 61