Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

'1'еорема доказана. Упражнение. Доказать, что определения Коши и Гейне пределов/в бес- конечноудаленной точке эквивалентны. Доказанная теорема позволяет нам применять любое из данных определе­ ний в тех случаях, когда одно из них облегчает рассуждения, связанные с доказа­ тельствами того или иного результата, и мы будем этим широко пользоваться. Так, для того чтобы доказать, что в точке XQ функция не обладает преде­ лом, достаточно найти две разные последовательности, сходящиеся к Хд, на ко­ торых значения функции сходятся к двум различным пределам. Например, покажем, что функция /(ji:) = sin —, определенная всюду, кро- X ме точки JCQ = О, не имеет предела при х —> О. Для этого рассмотрим х „ =— и У„=- ——, neN. пп (4п + 1)п Очевидно х„ —jj —> О, у„ — ^ О, однако /(j*: „) = siii п п — , поскольку f(x „) = 0 f(y„) = sin поскольку / ( y „ ) s l (Vn). Упражнение. Также с помощью определения Гейне доказать, что функ­ ция Дирихле S f О, X - рационально, /w= i , [!, X - иррационально не имеет предела ни в какой точке XQ еЯ. (Можно, например, рассмотреть х „ — и У н — н о значения х„ состоят из рациональных чисел, а значения у„ - из иррациональных.) Очень часто при анализе функций возникает вопрос: как доказать, что су­ ществует Urn /(х), если заранее не задано число с, фигурирующее в условиях (4.3) или (4.4)? Этот вопрос аналогичен тому, который решался с помощью кри­ терия Коши для числовых последовательностей. Помните, мы доказали, что х„ обладает пределом тогда и только тогда, когда она фундаментальна? Конечно, это была чистая «теорема существования», не дающая ответа на вопрос: а чему равен этот предел? Но при теоретических иccлeдoвa^шяx знания того, что предел существует, часто бывает достаточно, чтобы продолжить исследования. 60