Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение предела функции в точке по Гейне Пусть Xfi - предельная точка D( f ) . Число с назовем пределом функции в точке Хц, если какова бы ни была последовательность л-„ со значениями в D{f), такая, что Vn : х„ XQ , будет выполняться: => f { x „ ) — r ^ c . (4,4) Обозначения предела функции остаются теми же. что и в определении Коши. Очевидным образом определяются односторонние пределы, для этого в (4.4) нужно предполагать х„ 4 или х„ t X Q ДЛЯ введения правостороннего и левостороннего пределов соответственно. Остается в силе и теорема о связи односторонних пределов с пределом функции. Разумеется, что два разных определения одного и того же объекта не должны противоречить друг другу, иначе мы получили бы две «разные матема­ тики». Поэтому докажем следующую теорему: Теорема 4.2 (об эквивалентности определений предела по Коши и Гейне). Число с является пределом f в точке по Коши тогда и только тогда, когда оно является пределом / в точке Х(, по Гейне. Доказательство. Пусть с удовлетворяет условию (4.3). Зададим произ­ вольное число 8 > О и возьмем произвольную последовательность х„ ^ Хо со значениями в D{f) и такую, чтох „ — Т о г д а 3;z5 V;z>n5 ;х„ е{У5(хо)П Д / ) , где Ui,[xij) - окрестность, фигурирующая в условии (4.3). Но тогда из (4.3) по­ следует: V;z> «5 :/( д:„)еС/,(с), то есть х„ хо => / (х„) с . Обратно, если с не удовлетворяет условию (4.3), то есть згуд^о) VC78(XO) Эх8бС75(;со)П D( / ) : /U) e i y , ( c ) , то положим 5„ =—, neN. п Ясно, что из х„ е t7i/ „(xo) следует, что | д:„ - х^] < —, т.е. х„ — н о при этом не имеет место/ ( х „ ) — , иными словами, условие (4.4) не выполняется. 59