Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

{(X, y)-.x^U,{xo)f]D{f), > = /(.v)} будут лежать в этой полосе (рис. 11): f + с - е Рис, 11 Если с - предел / в точке XQ , то пишут: c = l i m / ( x ) или /(х)• - > с. Если в определении Коши вместо L/J (XQ) ВЗЯТЬ (XQ) ; WAc) ЭгУд(хо) Vxe [ /5 ( xo )n TO число с называют левосторонним пределом функции / в точке X Q И обозна­ чают так: Аналогично определяется правосторонний предел, для этого в определе­ нии Коши нужно взять правую полуокрестность точки Хо • Обозначается правосторонний предел так: c = l i m/ ( x ) , с = l i m /(х), / ( х ) >с, f{x) ) с . ,<4.А[) .?->ло+-0 О Если ^"определена хотя бы в некоторой проколотой окрестности точки XQ (т.е. и слева и справа от XQ ), то можно говорить как о пределе / в точке XQ , так и об ее односторонних (левостороннем и правостороннем) пределах в точке х^,. В этом случае очевидным является следующее утверждение. Теорема 4.1 (о связи предела функции с ее одиоегорониими пределами). Если f определена хотя бы в проколотой окрестности точки XQ , то чис­ ло с= lim fix) тогда и только тогда, когда с = lim / ( х ) =l i m / ( х ) . .vt.VQ ri *0 Доказательство провести самостоятельно. 58