Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Не меньший интерес представляет свойство значений функции прибли­ жаться (или не приближаться) к числу с, если значения аргумента будут выби­ раться все ближе и ближе к некоторому числу . В этом случае аналогия с по­ следовательностью частично пропадает, поскольку значения аргумента л- уже не увеличиваются бесконечно. Для точных определений предела функции в точке нам понадобится сле­ дующее понятие; Определение 4.3. Пусть А с: Л. Точка x^eR называется предельной точкой множества А, если / i f ] (7j(xo) ч ' 0 , какова бы ни была проколотая ок­ рестность Иными словами, д:о — предельная точка множества А, если в любой ее ок­ рестности есть точки из А, отличные от л:о. Очевидно, что любая точка отрезка [а, Ь] является предельной точкой интервала (а, Ь). Также очевидно, что точка X Q =Q является предельной точ­ кой множества = \/п', п е ЛГ}. Более сложный пример: пусть А - множество всех рациональных точек отрезка [0; 1], тогда сам отрезок [0; 1] будет множеством предельных точек множества А. Действительно; какова бы ни была точка д:е[0; 1], в любой ее проколотой окрестности найдется рациональная точка из [0; 1] независимо от того, будет ли х рациональной или иррациональной точкой. Определение предела функции в точке по Коми Пусть D { f ) - область определения функции /, а точка XQ - предельная точка D{f). Число с называется пределом функции f в точке X Q , если VC/,(c) Эг75(д:о) Ул:еС/5(д:о)П Д/)'-/(^)е'^Е(с) (4.3) ИЛИ, что т о ж е самое: V s > 0 35 > 0 VxeD(/):(0<|x-A:ol<5=>|/(x)-c|<E), Следует обратить особое внимание на то, что Хо в этом определении не обязана принадлежать множеству D{f) ! Иными словами, нас не интересу­ ет, как определена / в точке Хо и определена ли в ней вообще. Геометрическое истолкование этого определения следующее; какую бы полосу {(х, y):x €.R, с -Е <_у <с + 8} на числовой плоскости мы бы ни взяли, найдется L ^5(a: O ) такая, что точки; 57