Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1 1 1 м) Х„ = 1- Ч • 1 - 2 2-3 3-4 /! (я + 1) н) л-„=--— + ... + (-1)"—. 5 25 5" 9и^1 2 + i Iim(2 + - | Р е ш е н и е , а) lim = lim r = ^ =~- • 3 » - 5 . з _ 5 / _ 5 3 п II \ п) e)lim{V « + l - = lim-T=iL-^^7=il= = lim =0 . " ^ I + I Ответы 1. a) счетно; 6) несчетно; в) счетно; г) счетно; д) счетно. 3. б) inaxA' = supA' = l, minA'=inf^'=-l; в) maxA' = supA' =- l , mmA' =mfA' =- 5 ; г) max Л", minA', inf X - не существуют, sup А' = 0 ; д) шахХ, minA' - не су­ ществуют, sup А' = 0, inf А' =0 . 4. а) имеет; б) имеет; в) имеет; г) не имеет; д) имеет; е) не имеет; ж) имеет; з) не имеет. 5, а) Итх„ = limx,, = 1- предельная П " точка (частичный предел) х„\ в) Нтд:,, =-1 ,lim.x „ = 1; О,+sinr, ±sin2°,..., I " ±sin«°, ±1 - предельные точки; г) limA: „ = Итд:„=0 - предельная точка; I " д) предельных точек не существует; e)limx „ = 0 , lirnx,, = 1; [0; ! ] - предельные II " точки; ж) Мтл'„=0, Итл-„=1; {0; 1} - предельные точки; з) lim л:. =1/2. II " П Итл",, = 3/2; {1/2; 3/2} - предельные точки. 7. б) 0; в) 1; г) 0; д) 2; ж) 1; з) +оо; и) 1; к) 0; л) 1/3; м) 1; н) 1/6. 4. Пределы функций Начнем с определения предела функции / в бескоиечноудаленно{1 точке, по­ скольку здесь будет очевидным обобщение понятия предела последовательности. Определение 4.1 (по Коши). Пусть функция / определена на (а; + со). Число с называется пределом функции / в точке +оо (иногда говорят «при х, стремящемся к + о о » ) , если VE>0 Э5еЛ Vx>5;|/(A:)-C1<E (4,1) или, если обозначить i7s(+co)= (5; + oo), 55