Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Упражнения 1. Выяснить, какие из нижеперечисленных множеств могут быть конеч­ ными, счетными, несчетными; а) множество всех конечных последовательностей натуральных чисел; б) множество всех прямых на плоскости; в) множество непересекающихся интервалов; г) множество всех корней всех ненулевых многочленов с целыми коэф­ фициентами; д*) Множество кругов на плоскости, имеющих рациональный радиус и центр в точке с рациональными координатами. (Как изменится ответ, если кру- , ги на плоскости заменить шарами в пространстве?) 2. Доказать, что: а) конечное множество не эквивалентно никакому собственному под­ множеству; б) множества точек квадрата и отрезка эквивалентны; в) множества точек двух окружностей эквивалентны. 3. Для следующих множеств найти max , minХ, s upZ, infZ , если они существуют: Р е ш е н и е , а) Очевидно, что sup max А'= 1/2, а min А' не существ} ет, иначе можно всегда найти такое ? еN, что 1/ 2" < minX , а это противоречит оп­ ределению наименьшего элемента числового множества. Докажем, что inf Х = О . Для этого достаточно проверить выполнение двух свойств: —X > О при всехх е Х . Действительно, Vn е N; 1/2" > О, - V o O ЗйеН:1/2" <е. Чтобы убедиться в справедливости этого свой­ ства, можно взять любое целое п > -logjS . 4. Какие из следующих последовательностей имеют предел? Свой вывод пояснить. а) А' = |хеR|a' = 1/ 2", м е Н | ; 5)X=[~V, 1]; в) A' ={ xeZ | -5<x<0 } ; г) А" = {х е R|x < 0}; 2 3 4 52