Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

не можем ответить на вопрос, какую ошибку (погрешность) мы допустим, вы­ числяя не предел (3.5), а некоторое значение (пусть и с большим номером) х„ ? На этот вопрос (и на другие подобные вопросы) научимся отвечать позже - когда изучим формулу Тейлора. Определение 3.16. Натуральным логарифмом числа Ь>0 называется \ogcb, обозначаемый 1пй. В дальнейшем увидим, какую важную роль в анализе играет этот лога­ рифм. 1. Является ли множество иррациональных чисел счетным? 2. Будет ли противоречить данному выше определению счетного множе­ ства такое определение: «счетным называется множество, равномощное мно­ жеству рациональных чисел интервала (0; 1)?» 3. Обязано ли быть счетным множество значений последовательности х„ 1 4. Пусть строго возрастает. Будет ли счетным множество ее значений? 5. Какие свойства х„ определяют следующие высказывания: а) Э Ё > О eN Уп>щ: \х„ -а\<г\ б) ЭЁ > О V /1 E S.N Зп>п,_: \х„ - а| < Е ; в) ЭЕ > О V/JG eN Зп> щ: |Х„ — А| > Е ; г ) V A E I ? З Е > 0 УПСE N ВП>ПР^ : | Х „ - А ] > Ё ; д) 3aeR VE > О Ущ eR ЭМ> :|Х„ -А | <Е? 6. Будет ли сходиться к +оо всякая неограниченная сверху последова­ тельность? 7. Будет ли последовательность, сходящаяся к +со, неограничена сверху? 8. Справедливо ли равенство (ответ обоснуйте); 1. Нет (попробуйте предположить противное). 2. Нет. 3. Нет, например, постоянная . 4. Да. 5. а) х,, ограничена; б) существует ограниченная подпос­ ледовательность; в) не сходится к числу а; г) х,^ не сходится ни к какому чис­ лу; д) у .V, существует сходящаяся подпоследовательность, 6. Нет. 7, Да. 8. Да. Вопросы для самопроверки Ответы 51