Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

и, кроме того, увеличится на единицу число слагаемых. Следовательно, х„<х„+1,т.e . x „ t . Чтобы доказать ограниченность, заметим, что 2*'' =2-2.2-...'2<2-3-...'fc = fc!. к-\ раз Заметим также, что для каждой из скобок имеет место неравенство п Тогда ^1 1 1 ^ 1 1 1 X,, <2 + + — + ... + <2 + —+— + ——г. 2 ! 3 ! п \ 2 4 2"-' Осталось заметить, что справа стоит сумма членов убывающей геометри- 1 ческой прогрессии со знаменателем q = — : , 1 1 1 1 ' 2"-' 2 н—I—н.,.н г — — > 1, 2 4 2"^' 2 " 2 т.е. х„ < 3. Теорема доказана. Определение 3.15. Числом в называется предел lim| 1 + — и Таким образом, по определению: e = lim| 1 + — I . (3.5) Относительно числа е известно, что оно является числом иррациональ­ ным и, следовательно, может быть вычислено приближенно (с точностью, ко­ торую допускают современные вычислительные средства). Более того, число е является так называемым трансцендентным числом, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Но раз уж мы заговорили о вычислении числа е, нужно отметить, что ни формула (3.4), ни, уж тем более, формула (3.5) непригодны для этой цепи, по­ скольку, даже умея вычислять значения любого числа слагаемых в (3.4), мы 50