Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

I I £ X,,. - а <-; 1 2 б) Зн2 е Vn, m > «2 : \х„ - д:„,| < - (в том числе для т = щ ). Г I 2 Но тогда для всех п > т а х { н | , HJ} + -a|<i + i = E, т. е. Хп — • Теорема доказана полностью. В заключение этого раздела определим число е, которое иногда называют числом Непера. Как увидим в дальнейшем, число е играет огромную роль в математиче­ ском анализе. Так, наиболее интересным логарифмом является логарифм по ос­ нованию е, а функция f{x) = e' - единственная фуйкция, одна из первообраз­ ных которой совпадает с ней самой. Теорема 3.14. Последовательность является сходящейся. Доказательство. Покажем, что х„ возрастает и ограничена сверху. При­ меним формулу бинома Ньютона: \ п) fc =O \п) п 2 ! п 3 ! п n{n-\){n-2)...[n-{k-V^ 1 п (Н-1)(«-2)...(И-(И-1)) 1 — — tf к\ rt n! n" Если, пользуясь этим выражением, записать x „+, ( формально это будет означать везде замену п на и+1), то увидим, что значение каждой из скобок уве­ личится; i _ i < ^ - ± - п п + \ 49