Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Примем без доказательства следующую теорему. Теорема 3.12. У любой последовательности есть как наибольший, так и наименьший пределы {хотя бы бесконечные), при этом для сходшюсти х,, необходимо и достаточно, чтобы lim х„ = lim х„. II 1> До сих пор мы говорили о сходимости последовательности, имея в виду, что существует некоторое число а, которое мы должны исследовать - является ли оно пределом. Однако заранее это число может быть и неизвестным. Для «практического» исследования л„ в этом случае годятся те правила вычисления пределов, о которых говорилось выше, однако для теоретических исследований необходимо иметь такой инструмент исследования, который опирался бы толь- кр на свойства членов последовательности (на «внутренние свойства» последо­ вательности) и не привлекал бы никаких «внешних» соображений таких, как заранее заданное число а. С таким инструментом мы сейчас познакомимся. Определение 3.14. Последовательность х„ называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если', V E > О ЗПЕ Е \/Й, т> х„\<г (3.3) или, что тоже самое V E > О ЗПР_ 6 TVV « > ИР, VW 6 : | х „+„, - х„| < Е, Теорема 3.13 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходшась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство необходимости. Пусть х„ — , то есть V E > О Зп^ 6 Л'V n > ПЕ ; |х„ - А| <^ , Если теперь п, т>п^, то 1х„ -х,„1 <\х„ -а \ +\a-xJ\<~ + ~ = E, т, е, последовательность х„ фундаментальна. Доказательство достаточности. Пусть для х„ выполняется (3,3). Зафик­ сируем в условии (3,3) е >О (например, Е = 1) и пц>п^^. Тогда Х„ < х „ , ^+Е , т.е. х„ ограничена. Выделим из нее сходящуюся подпоспедовательность А -„^ . Пусть а = liinx,,^. Покажем, что тогда х„ ->• а. Действительно, возьмем е > О, тогда: 48