Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

УкеЫЗп;^ £N:X„^ > к. Очевидно, что выделенная таким образом стремится к +оо , Докажем теперь первое утверждение. Пусть х„ ограничена, т.е. сущест­ вует отрезок [а; 6] с Л такой, что 'ineN:x „ 6[ а; Ь]. Разделим [я; б] пополам точкой с. Тогда N разобьется на два множества Ki и К2 таких, что отобразится в отрезок [а; с], а отобразится в [с, Ь]. Ясно, что хотя бы одно из этих множеств бесконечно. Выберем то из этих двух множеств, которое бесконечно; любое из натуральных чисел этого множества обозначим «,, а соответствующий этому множеству отрезок обозначим [я,, Ь,]. Ясно, что б[а|, 61]. Разделяя [oi, 6]] новой точкой деления и повторяя рас­ суждения, получим натуральное число «2 ч отрезок [ог, 62] и т.д. Эта проце­ дура не закончится на конечном шаге, поскольку мы каждый раз выбираем бес­ конечное подмножество АГ,. Итак, мы указали способ построения множества натуральных чисел «1, П2,..., « t , ... таких, что; х„^ £ [0^.; 6^]; последовательность [а^; 6д] - вло- , Ь-а Ь-а „ г , 1 женная и о^-а^.= — следовательно, у всех [а^; сущест- 2 к вует единственная общая точка V ^ e / / ; ^ e [ a b 6^]. Но УкеМ:х„^ б [ а ь Ь^], следовательно, 1 - 4 |<6д - a t - ^ p > 0 , т.е. х„^ - искомая подпоследовательность, сходящаяся к точке ^s[a- Ь]. Тео­ рема доказана полностью. Теорема Больцано - Вейерштрасса показывает, что у любой последова­ тельности есть частичный предел, хотя бы бесконечный. Определение 3.13. Наибольший частичный предел последовательности х„ называется ее верхним пределом и обозначается lim х„, а наименьший час­ тичный предел называется нижним пределом и обозначается lim х„. 47