Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Выше мы видели, что всякая сходящаяся последовательность ограничена, т. е. ограниченность есть необходимое условие сходимости. Однако ограничен­ ности х„ не достаточно для сходимости. Очевидный пример: х„ =(-1)"- Офа- ниченная, но не сходящаяся последовательность. Как увидим ниже, во многих задачах не требуется сходимости самой по­ следовательности - достаточно знать, что у нее существует сходящаяся под­ последовательность. Определение 3.11. Число а называется частичньш пределом последова­ тельности х„ , если у нее существует подпоследовательность х„^ , сходящаяся к а. Н а п р и м е р : Е с л и п = 2/:,то 2к + \ , 1 2к 2к * Если « = 2А:-1 , то 2к 2к~\ 1-1 lilk) Видим, что у данной х„ есть, по крайней мере, два частичных предела, отличных друг от друга. Вопрос. Может ли данная последовательность сходиться? Более общий вопрос. Если у х„ есть два различных частичных предела, может ли х„ быть сходящейся? Определение 3.12. Последовательность л,, называется сходящейся к +С0 (-00), если 'ipeR 3«р & Ы \1п> Пр\х„> р[х„ < р). Теорема 3.11 (Больцано - Вейерштрасс). У любой ограниченной после­ довательности существует сходящаяся подпоследовательность. Если после­ довательность неограничена сверху {снизу), то у пее существует сходящаяся к +00 (-со) подпоследовательность. Доказательство. Второе утверждение почти очевидно. Действительно, неограниченность х„ сверху означает, что \/peR Э«р eN:x „^ > р. Если в качествер брать натуральные числа /с = 1, 2,..., то 46