Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Пусть Е > о. Найдутся номера Я|, Лт, такие, что: Vw > rt|: я - Е < л„ < я + 6; Vw > «2;« - Е < < а + Е; Уп>п^:х„<г„<у„. Тогда Vn >max(«1, «2, Нз] ; я-Е <л„ < z „ < у„ < a+ е, что и требовалось. К основаниям математики относится также решение следующего вопроса. Пусть дана последовательность числовых множеств А„ таких, что каждое из них непусто и для всех neN: с; А„ (такие последовательности множеств называют вложенными или убывающими). Спрашивается: можно ли гарантиро­ вать непустоту их пересечения (наличие у них хотя бы одной общей точки); в каких случаях можно гарантировать непустоту пересечения этих множеств? На первый вопрос ответ будет отрицательным. Действительно, рассмот­ рим ^„=^0; н = 1, 2,... - последовательность интервалов, очевидно, убы­ вающую. Легко понять, что у них нет ни одной общей точки, поскольку точка О не принадлежит ни одному из них, а любая точка е > О будет отделена от нуля полуинтервалом таким, что i < 6 [ ведь — О, как было показано выше п \ и На второй вопрос ответ дает фундаментальная теорема Г. Кантора. Теорема 3.10 (о вложенных отрезках или «принцип Каитора»). Любая система А„=[а„, Ь„] таких, что А„^,сА„, имеет общую точку. Если же Ит(Ь„ ~ а„) = О, то точка единственна. Доказательство. Из условия [«„+,, 6 „+|]c[a„, b„] следует, что t и ограничена сверху (хотя бы числом ), а. b „i и ограничена снизу (хотя бы числом а,), но тогда по теореме о достаточных условиях сходимости последо­ вательности существуют lima „ и limb,,, которые обозначим а ч b соответст­ венно. Кроме того, поскольку а„ < Ь„ , то по соответствующей теореме о пре­ дельных переходах в неравенствах получаем неравенство а <Ь. Таким образом, поскольку а„ <а <Ь <Ь„, отрезок [а; Ь] будет общим для всех отрезков А„, Если же Ь„-а„—>0, то из очевидного неравенства Q<,b-a<,b „-a„ следует, что b~a = Q, т.е. а = Ь и, действительно, общая точка единственна. Вопрос. Если вернуться к предыдущему примеру с интервалами- 0; - V " то на первый взгляд доказательство теоремы Кантора полностью применимо к нему. Насколько принципиально то, что в теореме Кантора фигурируют отрезки? 45