Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Пусть, для определенности, а<Ь . Возьмем 8 =—— и построим с этим радиусом U^Xa) и U^b). Тогда Ь-а а + Ь xeUJa) => а-е<х<а+г => х<а+-— = ; 1 2 Ь-а а+h ys.U^(b) => 6 - Е < Х < 6 + Е => b ^ Таким образом, видим, что для всех xeU^{a) и всех yeU^ib) выполня­ ется неравенство х<у, но это значит, что и^Ха) ч ^^гХЬ) не имеют общих то­ чек. Геометрический смысл доказанной леммы очевиден (рис. 9); Ща) и,(Ь) Hi .'У 8»- 2 Рис. 9 Замечание. В подобных случаях будем писать; U^{a) < U^(b) . Теорема 3.7. Если х„-^а и у„-^Ь и при этом, хотя бы начиная с некоторого номера, х„ < у„, то а< b . Доказательство. Предположим противное: а>Ь, тогда по лемме об от­ делимости найдутся и^(а) и UrXb) такие, что и^(Ь) <U^X") ^ но тогда, начиная с некоторого номера одновременно выполняются включения .x „sL/,.(o) и у„ eU^{b), откуда немедленно следует, что у,, <:г„, что противоречит предпо­ ложению теоремы. Замечание. Здесь, в частности, х„ или могут быть постоянными по­ следовательностями, например, х„=а, neN. Как сформулируется теорема в этом случае? Теорема 3.8. Если х„ а, у„ Ь п а <Ь, то^ начиная с некоторого но­ мера, х„ < у„. Доказательство. Вновь отделим а и 6 окрестностями и тогда, начиная с некоторого номера, выполнится х„ < у„. Замечание. Здесь, в отличие от предыдущей теоремы, существенно, что неравенство а < 6 строгое. Почему? Теорема 3.9 (о сжимающих последовательностях). Пусть Xi,-^a, у„—>а и, хотя бы начиная с некоторого номера, л„ й г„ < у„, тогда z „ а . 44