Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

5°. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она схо­ дится. Доказать самостоятельно. в°. Пусть х„ - ограниченная, а„ - бесконечно малая последовательности, тогда последовательность у„ = х„ -йп также бесконечно малая. Доказательство. Пусть т = const такова, что V « е N;|x „j< от. Тогда 0 < | = - а,,! <от |а„|. Но V E > О Зн^ е N '^п>щ ;|а„|< —, что и требовалось. 7°. Если х„ а, у„-^Ь, то последовательности Рп ~ Уп5 Яп ~ ~ Ут 'к ~ ' Ут ^ Уп сходятся к числам а + Ь, а-Ь, а'Ь и — {если ЬфО) соответственно. b Доказательство. Все утверждения доказываются аналогично. Докажем, например, что х„ • у„ -> а • b, для этого запишем очевидные неравенства: 1 х„у„ -аЬ\ = \х„у„ - х„Ь + х„Ь- 1 й ^ (в силу ограниченности х„ найдется с = const: | х„| < с для всех «) < <lc!l:H „-6| +| 6 | j x „ - a j . Осталось для произвольного 6 > О найти номер такой, что 1 л - М < ф . для всех п>п^. Замечание. При доказательстве мы «молчаливо» воспользовались пред- £ положением когда записали дробь -г-,. Как изменится доказательство, 1\Ь\ если Ь = 07 Теоремы о предельных переходах в неравенствах Здесь и далее нам понадобится лемма, которую назовем Лемма об отделимости. Пусть а, beR, a^b, тогда найдутся U^(d) и и^{Ь) такие, что и,.{а){^ U^(b) = 0 ,