Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Свойства сходящихся последовательностей 1°. Сходящаяся последовательность ограничена. (Необходимое условие сходимости.) Доказательство. Пусть х„ -> я, то есть VE > ОЭне е Ы\/п > ЯЕ ; я - Е < х„ < а +s , отсюда следует, что, начиная с номера «^4-1, множество значений последова­ тельности ограничено. Если положить й? =т а х | 8 , |й-Л|1, |a-J:2|^ - , . то для всех ns.N получим a-d <х„ < a + d, что и требовалось. 2°, Сходящаяся последовательность гшеет единственный предел. Доказательство. Пусть х„ -> а, х„ -> 6, а ^ Ь , Тогда | й - б | = | ( а-х„) + (л„ - 6 ) | < | й - л„ | + |х„- б | . Поскольку Ve>0 Зщ eN\fn > и, :|.х„ - a | < б/2 и в то же время Зп2 V « > «2 : | - б| < Е/2, то Vn>/io =max|i!|, tii) оба неравенства выполняются сразу, т.е. | а - Ь | < е для любого Е>0, но этого быть не может, поскольку | й - Ь | - фиксированное по­ ложительное число. 3°. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности схо­ дится к тому же пределу. Доказательство очевидно; если - а | < £ при всех и > , то и при всех nj > имеет место | - я | < е. 4°, Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится. (Достаточное условие сходимости.) Доказательство. Обозначим 5 = зирл„ - верхнюю грань множества зна­ чений , Очевидно, она существует. Тогда 1) V « 6 < 5 ; 2) Ve> ОЭя,е : х „ ^ >S-E. Но Vn > :х„ >х„_,, то есть VE > ОЭПР\ f n > n ^ : S - E < x „ < S < S + E. Таким образом х„-^S . 42