Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Легко видеть из определений, что х„ -> а тогда и только тогда, когда =л'„ - а является бесконечно малой последовательностью. Этим фактом мы будем широко пользоваться. Наконец, сходимость х„ к а можно интерпретировать и так; если рас­ сматривать | x „ - a | как расстояние между значениями последовательности (членами последовательности) и точкой а, то сходимость х„ к. а есть ни что иное, как стремление к нулю расстояния между х„ и а. Графически понятие сходимости х„ к а означает, что какой бы ширины по­ лосу, содержащую прямую х = а мы ни взяли, начиная с некоторого номера (ша­ га), фафик х„ будет лежать в этой полосе для всех последующих значений п. Например, для последовательности х„=- можио пояснить сказанное с п помощью рис. 8. X 4 ® в 1 Q 3 4 5 б 1 • • . N Рис. 8 Из рисунка можно догадаться, что l im- = 0, но, конечно, это иам пред- п стоит доказать строго. Следствие 2 иэ теоремы Арх1.меда; l i m i =0 . " н Доказательство. Возьмем любое Е >0, тогда по теореме Архимеда (точ­ нее, по следствию 1 к ней); 3/ij 6 > «Е:rt > - Е или, что то же самое VE > О 6 N'in >п^\-< £ , что и требовалось. 41