Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если теперь возьмем Е = 1 , то из 2) получим: Эп| 6 Л':«1 >5 - 1 или Зп| 6 /V; п, +1 >5 . Но последиее невозможно, поскольку n^+le N . Теорема доказана. Следствие 1. V a e R е/V Vn >« „ : «> я. Доказательство очевидно; по теореме Архимеда существует е N \ Па > а, но тогда из п > тем более следует п>а. Теперь перейдем к изучению числовых последовательностей. Сначала введем несколько определений. 1. Последовательность х„ называется ограниченной сверху (снизу), если сверху (снизу) ограничено множество ее значений [х„]. 2. Последовательность х„ называется возрастающей, если V « е /V: х„^1 > х„. В случае, когда все неравенства являются строгими, последовательность называется строго возрастающей. Для возрастающих (строго или не строго) х„ примем обозначение х„ t . Очевидным образом вводится понятие убывающей последовательности VneA';^: „+, < х„ и строго убывающей последовательности. Для них примем обозначение х„ i . Все убывающие и возрастающие последовательности объединяются об­ щим названием монотонные последовательности. 3. Сужение последовательности х„ на бесконечное подмножество К с N называется подпоследовательностью последовательности х„ и обо­ значается х„^. Теперь введем важнейшее понятие сходящейся последовательности и ее предела. Определение ЗЛО. Последовательность х„ называется сходящейся, если ЗЯ 6 Л V E > 03/;,. 6 N\/n > п^,'.\х„ - А| < Е . (3.1) Число а называется пределом последовательности х„ и обозначают limx,,, lim.v,, или совсем коротко: limx „. л 3 9