Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение 3.9. Если существует наименьшая из всех верхних фаниц множества А, то она называется верхней гранью множества А и обозначается sup/1 (от латинского слова supremum - наибольший). Если существует наи­ большая из всех нижних границ множества А, то она называется нижней гра­ нью множества А и обозначается inf А (от латинского слова infimum - наи­ меньший). Запишем эти определения в «символической форме»: Число S называется верхней фаныо А, если; 1) Vxe/l-,x<S; 2) (Ve > 0)(ЗЛр е /1) •. .V e > 5' - Е. Первое требование означает, что 5 - верхняя граница А, второе требова­ ние показывает, что любое число, меньшее, чем 5, перестает быть верхней гра­ ницей А. Аналогично: Число I называется нижней гранью А, если: 1) е А:хИ \ 2) (V E >0)(3^: e еА):х ^<1 + Е. Вопрос о том, существуют ли у ограниченных множеств грани, относится к области, называемой основаниями математики, и, по существу, связан с ак­ сиомой о непрерывности числовой прямой. В зависимости от того, в какой форме аксиоматизировать непрерывность R, существование граней числовых множеств может оказаться теоремой или аксиомой. В данном курсе лекций мы пойдем по второму пути. Аксиома о существовании граней у числовых множеств. Всякое огра­ ниченное сверху числовое множество гшеет верхнюю грань. Всякое ограничен­ ное снизу числовое множество имеет нижнюю грань. Непосредственным следствием из этой аксиомы является так называемое свойство архимедовости числовой прямой, утверждающее неограниченность сверху натурального ряда чисел. Теорема 3.6 (теорема Архимеда). \/аеЛ 3neN-.n>a. Доказательство. Предположим противное: ЗаеЯ N :п <а. Тогда из аксиомы следует существование числа S еЯ такого, что l ) V r t e / V : « < 5 ; 2 ) V 8 > 0 Вп, ЕN :П^> S-Е . 38