Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

При этом 71^ 7t ПО предыдущему следствию - множество несчетное, Замечание. Попутно мы увидели, что числовая прямая R равномощна лю­ бому интервалу (я; b)c:R. Теорема 3.5. На любом интервале имеются как рациональные, так и ир­ рациональные числа. Доказательство. Если бы на интервале (а; Ь) не было иррациональных чисел, то он состоял бы из конечного или счетного числа точек, что невозможно. Пусть X е {а\ Ь) - иррациональное число. Пусть х = Р, Р\Р2 ••• Рп ••• - десятичное представление числа х. Числ у„ = Р, р^рг • •• Рп, Полученное из х отбрасыванием всех цифр, стоящих после р„, - рациональное число. Тогда |x-j' „|=|0,0...Op^iP„+2 Очевидно, можно номер п подобрать настолько большим, что будет выполнено неравенство; Следствие 1. На любом интервале бесконечечно много как рациональных, так и иррациональных чисел. Доказательство. Если бы иррациональных чисел было конечное число, то, отбрасывая их, мы получили бы счетное множество, что, очевидно, невозможно. То, что кроме построенного выше у„ на (а; Ь) найдется еще рациональ­ ное число - это очевидно. Например, по доказанному, на (о; у„) должно вновь найтись рациональное число, но тогда среднее арифметическое этого числа и - вновь рациональное число, лежащее на (а; Ь). Дальнейшее рассуждение очевидно. Следствие 2. Множество рациональных чисел, лежащих в любом интер­ вале (а; Ь), счетно. Доказательство. Очевидно, множество рациональных чисел интервала (я; Ь) , являясь бесконечным подмножеством счетного множества, вновь счетно. Определение 3.8. Множество AcR называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число b (число а), что для всех хеА выполня­ ется неравенство х^Ь (х>а). Число b (число а) называют верхней (ниэ/сней) границей множества А. Ес­ ли А ограничено и сверху, и снизу, его называют ограниченным. Из определения ясно, что если множество ограничено сверху (снизу), то у него бecкoнeч^ю много верхних (нижних) границ. |л->'„|<10 " <min{|x-n|; |x-Ь|}-, то есть е(а; Ь) 3 7