Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Ясно, что при таком порядке нумерации каждый элемент таблицы полу­ чит через конечное число шагов присущий только ему одному номер из N, что и требовалось. Определение 3.7. Бесконечное множество, не являющееся счетным, на­ зывается несчетным. Теорема 3.4 (теореыяКаторя). Интервал (0; ])c:R несчетен. Доказательство. Предположим противное: каждый элемент из (0; 1) имеет номер neN. Запишем каждое из чисел х„ е(0; 1) в виде бесконечных десятичных дробей: Р1 Р\Р1 ..., Х2 = О, Pf р\ р\ . . ^„ = 0, Р1Р\ РЗ'..., Здесь pj - одна из цифр 0; 1; 2; ... ; 9. Если дробь оказалась конечной, на­ пример, 0,5, то все остальные цифры будут нулями: 0,5000...0... Построим новое число у = 0,д, qi ..., причем в качестве д, возьмем лю­ бую, отличную от P I ', 9 и О цифру; д2~ любую, отличную от р\,9 цифру и т.д.; д„- любая, отличная от р1, 9 и О цифра. Тогда по построению 0 < у < 1 и, следовательно, >>должен совпадать с одним из х„ е(0; 1), чего быть не может, поскольку у отличается от х,, хотя бы одной цифрой; р'1 q „. Полученное противоречие и доказывает теорему. Следствие 1. Любого интервал (а; b)c:R несчетен. Доказательство. Легко проверить, что отображение у = а + хф-а), л:б(0; 1) является биекцией между (0; 1) и (а; Ь): У~<^ / 1.Ч x = i . >'е(а; h). b-a Следствие 2. Числовая прямая R - несчетное множество. Доказательство. Одна из возможных биекций 36