Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

г Напомним, что рациональным числом называется несократимая-дробь —; п ^ А 14 9 75 т . « 6 Z, пФ'о, то есть числа — , , — отождествляются с числами 49 27 15 2 I с — , 5 И т.д. 7 3 Теорема 3.3. Множество всех рациональных чисел счетно. Доказательство. Построим таблицу следующим образом. В первую строку поместим все целые числа в порядке возрастания их абсолютных вели­ чин, ставя после натурального числа противоположное ему по знаку: 0; 1;-1,2 , - 2 ; - п ; . . . Во вторую строку поставим все несократимые дроби со знаменателем 2, вновь упорядочив их по абсолютной величине и сохраняя то же, что и в первой строке, чередование знаков; » i Э » > S'" 2 2 2 2 2 2 Вообще, в /!-ю строьсу поставим все несократимые дроби со знаменателем п, упорядочивая их по абсолютной величине и ставя после каждого положитель­ ного числа противоположное ему по знаку. Тогда получим таблицу (матрицу) с бесконечным числом строк и столб­ цов (рис. 5). Ясно, что в этой таблице содержатся все рациональные числа. Теперь легко установить биекцию между N и элементами этой таблицы; 1 2 4 7 11 . • . / / / / 3 5 8 12 Рис. 5 Здесь кружком обозначен элемент таблицы; в кружке стоит номер, кото­ рый получает этот элемент при построении биекцин; сфелки показывают поря­ док присвоения номеров из Л'элементу таблицы. 35