Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Свойство 3°. Любое бесконечное подлшожество счетного .иножества вновь счетно. Доказательство. Если А - счетное множество, В с: А и В бесконечно, то В равномощно некоторому бесконечному подмножеству К с: N н так как К счетно (свойство 2°), то В также счетно (свойство 1°). Определение 3.6. Если К - бесконечное подмножество N (может быть К = N), то любая функция f \К В называется последовательностью со зна­ чениями в В. При изучении свойств последовательностей будем полагать для просто­ ты, что K = N. Если В с Л, то последовательность называется числовой. Таким образом, последовательность - это функция натурального аргу­ мента. Ее значения /(и) принято обозначать х„. п « Например; х„ • J - вместо j ( n ) = -Y и + и +1 п +П + 1 и т.п. Этим же симво­ лом х„ будем обозначать и саму последовательность, т.е. функцию, точно так же, как функцию/аргумента х часто обозначают f(x) , имея в виду не значение / в точке X, а именно функцию/ В дальнейшем часто будем рассматривать последовательности множеств А„, понимая под этим функцию N {/1}, где {А} - множество подмножеств неко­ торого заданного множествах, например: Л, ={1, 2 . « = 1 ,2,..., т.е. здесь каждому пе Ы ставится в соответствие множество, состоящее из п первых элементов натурального ряда. Еще один пример; 1; 1 + - , я = 1, 2,... Здесь каждому пе N ставится в соответствие отрезок: Л|=[1; 1 + 1], /12= 1; 1 + - , Лз= 1; 1 + - и т. д. 1; 1 + - 3 •" 1; 1 + - 2_ 3. Конечно, рассмотренные в этих примерах последовательности нельзя на­ зывать числовыми, поскольку их значениями являются не числа, а числовые множества. 34