Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

т к n к nk 3.2. Числовые множества и последовательности Любое подмножество числовой прямой R будем называть числовым множеством. Например: N- натуральный ряд чисел; Z - множество всех целых чисел; [а, h] = {х е R • а <X < Ь] - отрезок; {а, Ь) = [х е R : а < х <Ь] - интервал и т.д. Множество t/p, (л:о) = (л: е Л : л:о - Е < .к < л:о + е, Е > 0} = {л: е Л : |л: - л :О1 < Е} называется г-окрестностыо точки х^', множество ^ Л {^%) = [.' Е ( ЛО )\{ ЛО ) ~ проко­ лотой z-окрестностъю точки х^; множества (л:о) = (л: е Л : л:о < л: < л:о + Е, Б > 0} и (л:о) = {л:е Л : - Е < л: < л:о, Е > О) называются соответственно правой и левой полуокрестностью точки Х(,, число Ё > О называется радиусом окрестности или полуокрестности. Напомним, что множество называется счетным, если между ним и нату­ ральным рядом чисел N можно построить биекцию. Отметим несколько общих свойств счетных множеств. Свойство 1°. Множество, равномощное счетному лшожеству, в свою очередь счетно. Доказательство. Пусть А - счетное множество, а. В - равномощно мно­ жеству А. Тогда существуют две биекции: f:N-^A, g:A->B. Но тогда F = go f также биекция и F\N~^B, что н требовалось. Свойство 2°. Бесконечное подмножество К cz N является счетным множеством. Доказательство. Расположим элементы К в порядке их возраста­ ния: ЛГ = {а, Ь, с, ...}. Тогда элемент а можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с единицей: 1 а , элемент Ь: 2 Ь и т. д. Таким образом, каж­ дое натуральное число из К будет иметь некоторый номер из N, при этом на­ оборот, каждый номер из N будет присвоен некоторому элементу из К , по­ скольку К бесконечно, что и требовалось. 33