Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Приведем две из таких эквивалентных аксиом (их эквивалентность, одна­ ко, доказывать не станем). 1. Аксиома о дедекиндовом сеченни. Здесь и далее для двух числовых множеств А и В будем писать А< В в том и только в том случае если: Va е A\fb еВ:а<Ь . Определение 3.4. Пара числовых множеств А, В таких, что а) /1, S #0 ; б) Ли B = R; в) А< В, называется дедекиндовым сечением поля R. Иногда к требованиям а) - в) добавляют: А п В = 0, хотя это требование необязательно. Для каждого сечения А, Б существует элемецт peR, называемый секу­ щим элементом, такой, что А<р< В. Отсюда легко следует: а) секущее число единственно, б) если An В , то АглВ = {р}. Впервые понятия сечения и секущего числа предложены немецким мате­ матиком Р, Дедекиндом, что и объясняет название аксиомы. 2. Аксиома о существовании точных граней. Если для непустого множества Ас. R существует число b такое, что А<Ь (AS:b), то среди всех таких чисел существует наименьшее (наибольшее). Рекомендуем самостоятельно порассуждать об эквивалентности этих ак­ сиом. В дальнейшем изложении примем аксиому о существовании точных гра­ ней и ниже вернемся к ней более подробно. Это объясняется лишь тем, что та­ кой способ аксиоматизации непрерывности R позволяет обойти некоторые тех­ нические сложности, опуская несущественные для нас подробности. Определение 3.5. Поле R называется числовой прямой, если в нем при­ нята какая-либо из аксиом непрерывности. Элементы поля R именно с этого момента будем называть действитель­ ными числами. Вопросы и задания для самопроверки 1. Пусть на множестве неотрицательных действительных чисел R* задана бинарная операция ф: \/я, А е Л: яфй = тах{я; А}. Будет ли эта операция груп­ повой? 31