Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Например: t. — •—= —!—, иными словами =(ит)''. п т II • т Действительно, j = 1 • 1 = 1, то есть п 'от~' - противоположный к тп элемент. 2. Правило сокращения; если п = П\к, т = гщк, то — =— . т От; Действительно, ~ =п т ' ' = (щк)(т^ку' = п|гп|"' =— . т \ /\ / щ _ _ ^ ^ п к пр + гпк 3. Правило сложения дробей: —+ —=— . т р тр Действительно, = {пр + тк){тр)~' = {пр)(трУ^ +(mfc)(mp)"' =(ас- тр социативность и коммутативность!) = + =—+ — что и требовалось. Эти примеры показывают принципы, с помощью которых мы извлекаем из системы аксиом правила работы с рациональными числами. Не будем напоминать десятичные представления чисел и правила работы с ними, напомним только, что числа, не представимые в форме —, п, m е Z, на- т зываются иррациональными. Вот теперь подошли еще к одной аксиоме, которая в школьном курсе ма­ тематики играет не столь важную роль, как аксиомы, введенные выше, и по­ этому недостаточно изучаемая или не изучаемая вовсе. Однако для нас эта ак­ сиома - аксиома непреры шости R - будет играть основополагающую роль, по­ скольку в дальнейшем анализ функций будет строиться на фундаментальном понятии предельного перехода. Ответ на вопрос; «Есть ли на R дырки, не заполненные числами?» - мо­ жет показаться очевидным в силу наших интуитивных представлений о прямой как о геометрическом объекте. Но, оказывается, этот вопрос можно решить только на уровне его посту­ лирования (аксиоматизации). При этом, как часто случается в математике, можно предложить несколь­ ко эквивалентных формулировок аксиомы. В этом случае, приняв одну из фор­ мулировок за аксиому, остальные делаем теоремами о необходимых и доста­ точных условиях. 30