Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Предположим обратное: у числа а существует два об­ ратных элемента b и с. Тогда а+Ь = 0 и а + с = 0. Отсюда (I ^ (^С1 + Ь) + с = о -h b + с — (о + с) + b — b + О ~ b. Заметим, что при доказательствах этих теорем мы пользовались как ком­ мутативностью, так и ассоциативностью операции сложения. Элемент, обратный к а относительно сложения, обозначается -а. Операция вычитания вводится естественным образом: а-Ь = а+{-Ь). Эту операцию можно было бы определить и так: разностью элементов а и 6 на­ зывается элемент с, обозначаемый а~Ь, такой, что а-Ь + с. Спрашивается, равносильны ли эти определения? Разумеется, да и это легко показать. Пусть с~а + (-Ь) , тогда b + c = b + a + (-b) = b + {-b) + a = a. Обратно, ес­ ли a = b + c ,10 a+ {-b) ~b + c + {-b) = b + (-b) + с = c, т.е. c = a-b. Аналогично можно было бы доказать теоремы о единственности единицы и единственности элемента, обратного по умножению (вынесем эти вопросы в задания к разделу). Операция деления. Пусть ЬфО , тогда у b существует обратный элемент Ь'' . „ 0 , - 1 Положим по определению — = ахЬ . b И вновь, как и для операции сложения, можно показать, что с = — а - Ь ^ с (сделайте это!). b Элемент с называется частным от деления а на Ь. Элементы R будем на­ зывать числами. Натуральное число п вводится как результат сложения 1. А именно; 2=1 + 1, 3=1+2 и т.д. Введя натуральные числа, легко введем целые числа; 0; I;-1; 2;-2; ... Множество всех целых чисел обозначают символом Z. Число, которое получается делением одного целого числа на другое, на­ зывается рациональным числом; р = — , п, т е Z, т Ф Q. т Часто знак " х " заменяют знаком " • ", например2хЗ = 2-3, а при .буквен­ ной записи и вовсе не пишут никакого знака: а х Ь = аЬ. Из аксиоматики поля R можно вывести теперь все правила работы с дробями. 29