Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть дано множество X произвольной природы. Из элементов множест­ ва А" построим всевозможные пары (а,6); а, bsX. При этом будем считать, что если а *Ь ,vo пары (а, Ь) и {Ь, а) - различны (такие пары называют упорядочен­ ными). Из этого множества (всех упорядоченных пар) в свою очередь выделим подмножество Г, которое называется бинарным отношением на X. Если {а,Ь)е 1\ то говорят, что а находится с b в отношении Т и пишут аТЬ. В зависимости от «конфиг>'рации» множества Г, бинарное отношение может обладать различными интересными свойствами. Будем считать, что Т удовлетворяет следующим требованиям; 1°. Уаех:аГа;((о,а)е7") -рефлексивность Т\ 2°. аТЬ л ЬТс => аТс - транзитивность Г; 3°. аТЬ лЬТа а = b - антисгшметричность Т или закон тождества; 4°. Va, b S X: аТЬ v ЬТа -линейность (связность) Т. Бинарное отношение, обладающее этими свойствами, называется линей­ ным отношением порядка и называется отношением частичного порядка, если удовлетворяет условиям 1°-3°. Обычно отношение порядка обозначается тд,к:а<Ь, т.е. абстрактный символ Тзаменяют на Отношение порядка связывается на R с операциями сложения и умноже­ ния следующими аксиомами; 1 Ve,b,c S. R:(a<b)=>{a + с< b + c)', 2°Уа,ЬеЯ Vc>0 ; ( a<b )=>( axc<6xc ) . Определение 3.3. Множество R, на котором введены операции сложения и умножения, операция линейного сравнения, и все они связаны между собой так, как это сделано выше, называется линейным упорядоченным полем, а его элементы действительными или вещественными числами. Теперь можно доказать, что R допускает все известные нам арифметиче­ ские операции; вычитание, деление, действие над дробями и т.д. Мы не станем здесь делать всех необходимых выкладок, ограничимся только примерами. Теорема 3.1 (о единствен иостн нуля). Свойством нуля обладает един­ ственный элемент. Доказательство. Пусть существует два нуля; О, и О2 .Тогда 0|+02=0i и 0] +О2 =0;, отсюда 0| =02- Теорема 3,2 (о единственности элемента обратного данному относи­ тельно олерацнн сложеиип). Для любого a&R обратный элемент а'' единствен. 28