Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

набор этих свойств в качестве основного, определяющего (он то и называется системой аксиом), остальные же свойства получаются из этого набора с помо­ щью правил,выводов, принятых в данной теории. Введем несколько определений. Определение 3.1. Пусть на множестве А определено правило, которое каждым двум элементам а,ЬеА ставит в соответствие вполне определенный третий элемент из А. Такую операцию называют бинарной операцией на А. На­ пример, операции сложения, умножения чисел, определенные в школьном кур­ се математики, сложение векторов - хорошо известные бинарные операции. Пересечение множеств, объединение множеств также бинарные операции на множестве всех подмножеств данного основного множествах Тот факт, что к элементам av i h применена бинарная операция ф, запишем так:а ф . Определение 3.2. Пусть на множестве А определена бинарная операция ф такая, что; 1°. Для всех а,ЬеА имеет место: а(\>Ь = Ыра {колшутагпивнов свойство ф или коммутативность ф). 2°. Для всех а,Ь,свА имеет место (афЬ)фс = аф(бфс) {ассоциатив­ ность ср). 3°. Существует ее. А такой, что для всех аеА имеет место а(ре = а (су­ ществование нейтрального элемента). 4°. Для любого а е А существует а ' ^ еА такой, что a(pa"'=i2, (а"' называют обратным к а). В этом случае множество А называют абелевой или коммутативной группой, а операцию ф называют групповой операцией. Видим, что операция сложения введенная в школьном курсе матема­ тики, обладает на R свойствами групповой операции, при этом нейтральным элементом является число 0. Легко также видеть, что операция умножения "х" делает множество R" = R\ {0} коммутативной группой с нейтральным элементом е = I. Эти две операции взаимодействуют друг с другом через дистрибутивный закон: Vx, у, ze.R: х{у + z) = ху + xz. Но складывать и умножать,- :это ис все, что мы умеем делать с действи­ тельными числами. Очень важно то, что мы умеем их сравнивать, т.е. на R вве­ дена еще операция - операция сравнения. Она уже не относится к классу би­ нарных операций. Эта операция относится к так называемым бинарным отно­ шениям. Познакомимся вкратце с понятием бинарного отношения, 2 7