Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

на единицу) = с,„I й + Z-Ч "Ь +1.С„аЬ +С„^,а b =С„^,а о + t=i «=1 -tA —1 I /^0 'i +l / • 'to\ + I C +СГ a'/)""'+ C i « 6"^ =( всилу2°)= что и требовалось. \Ы ) 4=0 Пример. Запишем с помощью формулы (2.7) (й +b f . Для этого заметим, что из треугольника Паскаля мы можем легко найти строку биномиальных коэффициентов; 1, 6, 15, 20, 15, 6, I, следовательно, {a+bf=a^'+ea^b+\Sa%-+2Qa^b^+\Sa^b^+(>ab^+b\ Или в компактной форме; +bf = '^ с1а''Ъ^'''. ыо Упражнения 1. Используя метод математической индукции, доказать тождества: а) 1 + 3 + 5 + ... + (2п-1) = п^; б)l 4 2 4 3 4 . . . + « 2 = ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ f c t l ) ; 6 в) 1' + 3^ +5 4 . . . + (2п -if = ; г) 1 Ч 2 Ч з Ч . . . + п^=(1 + 2 + ... + «)^; д) l -2 ' 3 + 2-3'4 + 3-4-5 + ... + n-(n + l)-(n + 2) = '''^""^^^'-""^^^^""^^^ 4 e ' ) i l + ^ + . п (п + 1) , 1-з"^3-5"^"'"^(2п-1)(2п + 1) 2 (2« + 1)' ж) M!+2-2!+3-3!+... + n-n! = (n + l ) ! - l . 2. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик? 3. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре раз­ личные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности? 4. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если: а) никакая цифра не повторяется более одного раза; б) повторения цифр допустимы; в) числа должны быть нечетными и повторений цифр быть не должно. 5. В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Доказать, что все равно можно составить компанию из трех друзей. 6. Вычислить суммы; 25